线性规模的路径报告距离近似

给定无权重的无向图，距离近似是一种可以在(近似)时间内回答距离查询的数据结构。{\em 路径报告距离近似} (PRDO)，即必须返回查询顶点之间的路径的距离近似。给定一个包含$n$个顶点的图和整数参数$k\ge 1$，Thorup和Zwick \cite{TZ01} 展示了一个stretch为$2k-1$，规模为$O(k\cdot n^{1+1/k})$，查询时间为$O(k)$的PRDO（对于PRDO的查询时间，我们省略了报告路径本身所需的时间）。后续工作 \cite{MN06,C14,C15} 将规模简化为$O(n^{1+1/k})$，查询时间简化为$O(1)$。然而，这些改进产生的距离近似不是路径报告的。另一些工作 \cite{ENW16,EP15} 关注针对一般图的小规模PRDO，但已知所有规模为线性的距离近似结果要么产生多项式stretch，要么产生多项式查询时间，要么不是路径报告的。在本文中，我们构思了第一个规模为线性的PRDO，具有多项式对数stretch和低查询时间$O(\log\log n)$。更一般地，对于任意整数$k\ge 1$，我们获得一个stretch最多为$O(k^{4.82})$，规模为$O(n^{1+1/k})$，查询时间为$O(\log k)$的PRDO。此外，我们可以将PRDO的规模缩小到$n+o(n)$，以牺牲查询时间为多项式对数为代价。对于无权图，我们将stretch改进为$O(k^2)$。我们也考虑{\em 两两PRDO}，即仅需回答给定顶点对集合${\cal P}$的查询的距离近似。 \cite{EP15} 提供了一个规模为$O(n+|{\cal P}|^2)$，查询时间为常数的精确PRDO。在本工作中，我们显著改进了规模，代价是略微增加stretch。具体而言，给定任意$\epsilon>0$，我们构思了一个stretch为$1+\epsilon$，查询时间为常数，规模为$n^{o(1)}\cdot (n+|{\cal P}|)$的两两PRDO。