通用图上线性大小对数伸展的路径报告距离预言机

2001年，Thorup和Zwick设计了一个距离预言机，给定$n$顶点无向图和参数$k$，其大小为$O(k n^{1+1/k})$。在查询$(u,v)$时，他们的预言机构造$u$和$v$之间的一条$(2k-1)$-近似路径$\Pi$。Thorup-Zwick预言机的查询时间为$O(k)$，随后被Chechik改进到$O(1)$。Thorup和Zwick预言机的一个主要缺点是空间为$\Omega(n \cdot \log n)$。Mendel和Naor设计了一个大小为$O(n^{1+1/k})$、伸展为$O(k)$的预言机，但他们的预言机只能报告距离估计而不能报告实际路径。在本文中，我们设计了一个路径报告距离预言机，其大小为$O(n^{1+1/k})$、伸展为$O(k)$且查询时间为$O(n^\epsilon)$，其中$\epsilon > 0$任意小。特别地，我们的预言机可利用线性大小提供对数伸展。我们预言机的另一变体大小为$O(n \log\log n)$、多对数伸展且查询时间为$O(\log\log n)$。对于无权图，我们设计了一个距离预言机，其乘性伸展为$O(1)$、加性伸展为$O(\beta(k))$（对于某个函数$\beta(\cdot)$）、空间为$O(n^{1+1/k} \cdot \beta)$且查询时间为$O(n^\epsilon)$，其中$\epsilon >0$为任意小常数。这些预言机中乘性伸展与大小之间的权衡远低于周长猜想阈值（即伸展$2k-1$且大小$O(n^{1+1/k})$）。打破周长猜想权衡是通过展现加性伸展$\beta(k)$与大小$O(n^{1+1/k})$之间不同性质的权衡实现的。Elkin和Peleg由于构造$(1+\epsilon,\beta)$-稀疏子图而展示了类似类型的权衡。然而，迄今为止$(1+\epsilon,\beta)$-稀疏子图在距离预言机世界中尚无对应物。我们在取得这些结果的过程中开发的一个重要新工具是一个{保距路径报告预言机}。