具有亚多项式误差依赖的平面图近似距离预言机

Thorup [FOCS'01, JACM'04] 与 Klein [SODA'01] 各自独立地证明了，对于平面图存在 $(1+\epsilon)$-近似距离预言机，其具有 $O(n (\log n)\epsilon^{-1})$ 的空间与 $O(\epsilon^{-1})$ 的查询时间。尽管对 $n$ 的依赖近乎线性，其预言机的空间-查询乘积对 $1/\epsilon$ 的依赖是二次的。许多后续结果要么改进了预言机的空间、要么改进了查询时间，而对 $1/\epsilon$ 的依赖相同或有时更差。Kawarabayashi、Sommer 与 Thorup [SODA'13] 首次将对 $1/\epsilon$ 的依赖从二次改进到近乎线性（代价是 $\log^*(n)$ 因子）。推测对 $1/\epsilon$ 的线性依赖是最优的是合理的：对于平面图中许多已知的距离相关问题，已证明对 $1/\epsilon$ 的依赖至少线性。在本工作中，我们反驳了这一猜想，将对空间-查询乘积关于 $1/\epsilon$ 的依赖从线性一路降至\emph{亚多项式} $(1/\epsilon)^{o(1)}$。更精确地，我们构造了一个具有 $O(n\log(n)(\epsilon^{-o(1)} + \log^*n))$ 空间与 $\log^{2+o(1)}(1/\epsilon)$ 查询时间的预言机。我们的构造是过去二十年间发展的若干不同思想的集大成。