基于泛型矩阵与Frobenius形的敏感性与动态距离预言机

代数技术迄今对图算法产生了重要影响。将其（例如矩阵逆）引入动态领域改进了多种动态图问题的已知最优界。本文中，我们为另一基石性代数原语——Frobenius正规形（FNF）——开发了新算法。我们将所得进展应用于有向图上的动态与容错精确距离预言机问题。对于有限域上伴随FNF的泛型矩阵$A$，我们展示了（1）一个用于查询$A$前$k\geq 1$次幂子矩阵的高效数据结构，以及（2）一个在秩1更新下显式更新FNF的近最优算法。通过用充分大有限域上的泛型矩阵（由随机采样获得）表示无权有向图并利用所开发的FNF工具箱，我们得到：（a）在单边或单点失效情形下的条件最优距离敏感预言机（DSO），部分回答了Gu和Ren [ICALP'21]的开放问题；（b）一种多重失效DSO，在预处理和查询时间上均优于现有技术（参见vd. Brand和Saranurak [FOCS'19]）；（c）单边更新情形下改进的动态距离预言机；以及（d）一种支持点更新的动态距离预言机，即改变与单个顶点关联的所有边，最坏情况时间为$\tilde{O}(n^2)$，距离查询时间为$\tilde{O}(n)$。