基于外代数的参数化灵敏度预言机与动态算法

我们为多种参数化问题设计了首个高效的灵敏度预言机（sensitivity oracle）和动态算法。我们的主要方法是改进静态参数化算法设计中的代数编码技术，该技术此前尚未在动态环境中使用。我们特别基于 Brand、Dell 和 Husfeldt [STOC'18] 的“外子编码（extensor coding）”方法，利用不同域上的外代数（exterior algebra）的性质。对于 directed 图的 $k$-Path 检测问题，已知在细粒度复杂性的流行假设下不存在高效的动态算法。我们通过设计一个高效的灵敏度预言机来规避这一点：该预言机在 $2^k poly(k) n^{\omega+o(1)}$ 时间内对具有 $n$ 个顶点的有向图进行预处理，使得给定对该输入图的 $\ell$ 次更新（混合边插入与删除，以及顶点删除）时，它能以高概率在 $\ell^2 2^kpoly(k)$ 时间内判定更新后的图是否包含长度为 $k$ 的路径。我们还给出了一个确定性灵敏度预言机，需要 $4^k poly(k) n^{\omega+o(1)}$ 的预处理时间和 $\ell^2 2^{\omega k + o(k)}$ 的查询时间，并获得了用于近似计数 $k$-路径数量的随机灵敏度预言机。对于无向图中的 $k$-Path 检测，我们获得了预处理时间为 $O(1.66^k n^3)$、查询时间为 $O(\ell^3 1.66^k)$ 的随机灵敏度预言机，以及对无向二部图更优的界。此外，我们提出了针对多种问题的首个全动态算法：$k$-Partial Cover、$m$-Set $k$-Packing、$t$-Dominating Set、$d$-Dimensional $k$-Matching 和 Exact $k$-Partial Cover。例如，对于 $k$-Partial Cover，我们展示了更新时间为 $2^k poly(k)polylog(n)$ 的随机动态算法，以及更新时间为 $4^kpoly(k)polylog(n)$ 的确定性动态算法。