关于具有次2伸展的近似距离预言机的空间占用

对于具有 $n$ 个顶点和 $m$ 条边的无向无权图 $G = (V, E)$，令 $d(u, v)$ 表示 $G$ 中 $V$ 中 $u$ 到 $V$ 中 $v$ 的距离。图 $G$ 的 $(\alpha, \beta)$-伸展近似距离预言机（ADO）是一种数据结构，给定 $u, v \in V$，在常数时间内返回一个值 $\hat{d}(u, v)$，使得对于某些实数 $\alpha > 1, \beta$ 有 $d(u, v) \le \hat{d}(u, v) \le \alpha \cdot d(u, v) + \beta$。若 $\beta = 0$，则称该 ADO 具有伸展 $\alpha$。Thorup 与 Zwick（2005）表明，对于一般图，无法以亚二次空间（关于 $n$）突破伸展 3。Patrascu 与 Roditty（2010）表明，可利用 $O(m^{1/3}n^{4/3})$ 空间获得伸展 2，因此若 $m$ 关于 $n$ 为亚二次，则空间占用亦为亚二次。此外，Patrascu 与 Roditty（2010）基于集合交假设表明，即便对于 $m = \tilde{O}(n)$ 的图，也无法以亚二次空间突破伸展 2。本文中，我们研究 ADO 所能达到的最小可能伸展作为图最大度函数的依赖关系，该研究的动机在于识别 ADO 能以亚二次空间存储同时仍保证次2伸展的条件。特别地，我们表明若 $G$ 中最大度 $\Delta_G \le O(n^{1/k - \epsilon})$ 对某个 $0 < \epsilon \le 1/k$ 成立，则存在 $G$ 的 $(2, 1 - k)$-伸展 ADO，其使用 $O(\tilde{n}^{2 - (k \cdot \epsilon) / 3})$ 空间。对于 $k = 2$，该结果意味着对于 $\Delta_G \le O(n^{1/2 - \epsilon})$ 的图存在亚二次次2伸展 ADO。我们在同一集合交假设下给出了该上界的紧下界，表明若 $\Delta_G = \Theta(n^{1/k})$，则 $(2, 1 - k)$-伸展 ADO 需要 $\Omega(\tilde{n}^2)$ 空间。此外，我们表明对于常数 $\epsilon, c > 0$，即便对于 $\Delta_G = \Theta(\tilde{1})$ 的图，$(2 - \epsilon, c)$-伸展 ADO 也需要 $\Omega(\tilde{n}^2)$ 空间。