面向顶点故障图的连通性预言机

我们引入了新的数据结构，用于回答在遭受批量顶点故障的图中的连通性查询。一个确定性结构在$\tilde{O}(d^3)$时间内处理一批$d\leq d_{\star}$个故障顶点，此后在$O(d)$时间内回答连通性查询。它占用$O(d_{\star} m\log n)$空间。我们开发了该数据结构的随机化蒙特卡洛版本，对于任何故障界限$d\le n$，其更新时间、查询时间和空间分别为$\tilde{O}(d^2)$、$O(d)$和$\tilde{O}(m)$。这是第一个能够有效处理无界数量顶点故障的通用图连通性预言机。我们还开发了一个更高效的蒙特卡洛边故障连通性预言机。使用$O(n\log^2 n)$空间，$d$条边故障在$O(d\log d\log\log n)$时间内被处理，此后连通性查询在$O(\log\log n)$时间内得到回答，且以高概率正确。我们的数据结构基于一个关于无向图$G=(V,E)$的新分解定理，该定理具有独立的研究价值。它指出，对于任何终端集$U\subseteq V$，我们可以移除一个由$|U|/(s-2)$个顶点组成的集合$B$，使得剩余图包含一个针对$U-B$的施泰纳森林，且其最大度为$s$。