顶点割查询的新型 oracle 与标记方案
数据结构与算法
2026-05-01 v3
摘要
我们研究中心化 oracle 和标记方案中顶点割的紧凑表示。对于无向的 n 顶点图 G = (V, E) 和整数参数 f ≥ 1，目标是支持顶点割查询：给定 F ⊆ V 且 |F| ≤ f，确定 F 是否为 G 中的顶点割。在中心化数据结构设置中，需要将 G 预处理为一个能快速回答此类查询的数据结构，同时占用极小的存储空间。在标记设置中，需要为图中每个顶点分配简短的标签，以便仅通过检查 F 中顶点的标签即可回答割查询。虽然上述问题的“st 割变体”已被广泛研究并已知可实现非常高效的解决方案，但基本（全局）“割查询”设置在本质上仍是开放问题（特别是 f > 3 时）。本工作在这些问题上取得了首次实质性进展：[f 顶点割标记：] 每个 n 顶点图都可采用长度为 Õ(n^{1-1/f}) 位的标签实现 f 顶点割标记方案。这几乎匹配了 Long、Pettie 和 Saranurak（SODA 2025）最近给出的下界。[f 顶点割 oracle：] 对于 f = O(log n)，每个 n 顶点图 G 都可实现空间为 Õ(n) 且查询时间为 Õ(2^f) 的 f 顶点割 oracle。我们还展示了对于 1 ≤ f ≤ n 的所有 f 顶点割 oracle 在 n^{o(1)} 因子内是最优的（在可信的细粒度复杂性猜想条件下）。如果 G 是 f 连通的，即我们关注“最小”顶点割查询时，查询时间可提升至 Õ(f^2)，其中 1 ≤ f ≤ n。
引用
@article{arxiv.2501.13596,
title = {New Oracles and Labeling Schemes for Vertex Cut Queries},
author = {Yonggang Jiang and Merav Parter and Asaf Petruschka},
journal= {arXiv preprint arXiv:2501.13596},
year = {2026}
}