面向多顶点故障的连通性标记与路由

我们提出用于回答图中受指定数量顶点故障影响的连通性查询的简洁标记方案。一个 $f$ 顶点/边容错($f$-V/EFT)连通性标记是一种为 $n$ 顶点图 $G$ 的顶点(可能还有边)生成简洁标签的方案,使得仅给定两顶点 $s,t$ 及至多 $f$ 个故障顶点/边 $F$ 的标签,即可推断 $s$ 与 $t$ 在 $G-F$ 中是否连通。主要复杂度度量为最大标签长度(以比特计)。$f$-EFT 情形相对明晰:[Dory 与 Parter, PODC 2021] 给出了标签长度为 $O(\log^3 n)$ 比特的随机化方案,随后 [Izumi 等, PODC 2023] 以 $\tilde{O}(f^2)$ 比特标签对其去随机化。正如二者指出,处理顶点故障更具挑战性。$f$-VFT 情形的已知界相距甚远:[Parter 与 Petruschka, DISC 2022] 给出 $\tilde{O}(n^{1-1/2^{\Theta(f)}})$ 比特标签,该值在 $f =\Omega(\log\log n)$ 时已关于 $n$ 线性。本文中,我们提出使用 $poly(f, \log n)$ 比特的高效 $f$-VFT 连通性标记方案。具体而言,我们给出标签为 $O(f^3 \log^5 n)$ 比特的随机化方案,以及标签为 $O(f^7 \log^{13} n)$ 比特的去随机化版本,而所需标签长度的下界为 $\Omega(f)$ 比特。我们的方案基于一种改进 [Duan 与 Pettie, SODA 2017] 的新低度图分解,并便于其分布式表示为标签。最后,我们表明我们的标签自然导出避开给定至多 $f$ 个顶点故障集合的路由方案,其表与头部大小仅 $poly(f,\log n)$ 比特。这相比 Dory 与 Parter 的 EFT 路由方案所隐含的线性大小界有显著改进。