最优对偶顶点失效连通性标签

在本文中，我们提出了用于支持顶点故障下连通性查询的简洁标签方案。对于给定的 $n$ 顶点图 $G$，一个 $f$-VFT（相应地，EFT）连通性标签方案是一种分布式数据结构，它为图的每条边和每个顶点分配一个短标签，使得给定顶点对 $u$ 和 $v$ 的标签，以及至多 $f$ 个失效顶点（相应地，边）$F$ 的标签，能够确定 $u$ 和 $v$ 在 $G \setminus F$ 中是否连通。主要的复杂度度量是单个标签的长度。自 [Courcelle, Twigg, STACS '07] 引入以来，FT 标签方案仅针对有限的图族被设计出来。最近的工作 [Dory and Parter, PODC 2021] 提供了针对边失效的一般图 EFT 标签方案，而顶点失效情形则基本开放。我们提供了首个针对任意 $n$ 顶点图、适用于 $f \geq 2$ 的次线性 $f$-VFT 标签方案。我们的关键结果是具有 $O(\log^3 n)$ 比特的 $2$-VFT 连通性标签。我们的构造基于在分析对偶失效替换路径结构之上，结合著名的 [Sleator and Tarjan, STOC 1981] 轻重树分解技术。我们还提供了对于任意 $f=o(\log\log n)$ 的次线性长度（关于 $|V|$）的 $f$-VFT 标签，其基于到现有 EFT 标签的归约。