双故障弹性BFS结构

我们研究广度优先搜索（BFS）生成树，并解决设计稀疏容错（fault-tolerant）BFS结构（简称 FT-BFS）的问题，该结构对给定无向无权重图 $G$ 中最多两条边的故障具有弹性，即 $G$ 的一个稀疏子图 $H$，使得在最多两条边故障后，$H$ 的存活部分 $H'$ 仍包含（存活部分）$G$ 的一棵BFS生成树。迄今为止，FT-BFS结构以及相关的替换路径（replacement paths）概念仅在单故障的限制情形下被研究。人们广泛注意到，在涉及多种背景下的最短路径时，单故障与两个及以上故障之间存在显著的质性差异。我们的主要结果如下。我们提出一种算法，对每棵 $n$ 顶点无权重无向图 $G$ 和源节点 $s$，构造一个以 $s$ 为根、具有 $O(n^{5/3})$ 条边的（双边故障）FT-BFS结构。为提供避免2边故障的最短路径的有用理论，我们采用原则性方法对这些路径的排列进行分类。我们相信本文提供的结构分析可能降低理解 $f\geq 2$ 故障一般情形的障碍，并为未来设计 $f \geq 2$ 的 $f$-故障弹性结构铺平道路。我们还给出了一个匹配下界，其实际上适用于 $f \geq 1$ 和多个源点 $S \subseteq V$ 的一般情形。它表明对于每个 $f\geq 1$ 和整数 $1 \leq \sigma \leq n$，存在具有势为 $\sigma$ 的源点集 $S \subseteq V$ 的 $n$ 顶点图，使得任何以每个 $s \in S$ 为根、能弹性应对最多 $f$ 边故障的 FT-BFS 结构具有 $\Omega(\sigma^{1/(f+1)} \cdot n^{2-1/(f+1)})$ 条边。