多源双容错BFS树

设 $G=(V,E)$ 为一个具有 $n$ 个顶点和 $m$ 条边的图，带有一组指定的 $\sigma$ 个源 $S\subseteq V$。针对任意图问题的容错子图维护图 $G$ 的一个稀疏子图 $H$，使得对于任何 $k$ 个故障集合 $F$，在 $G\setminus F$ 上该图问题的解在 $H\setminus F$ 中得以维护。我们解决从单源 $s\in V$（称为 $k$ FT-BFS）或多源 $S\subseteq V$（称为 $k$ FT-MBFS）维护图的广度优先搜索（BFS）树的容错子图问题。 $k$ FT-BFS问题首先由Parter和Peleg [ESA13]研究。他们设计了一种算法来计算大小为 $O(n^{3/2})$ 的FT-BFS子图。此外，他们展示了其算法如何轻松扩展到需要 $O(\sigma^{1/2}n^{3/2})$ 空间的FT-MBFS。他们还给出了这些结果的匹配下界。后来Parter [PODC15]将该结果扩展到解决双FT-BFS，需要 $O(n^{5/3})$ 空间，同样带有匹配下界。然而，他们的结果仅限于无向图中的边故障，并且涉及非常复杂的分析。此外，他们的解似乎不能直接扩展到双FT-MBFS问题。我们提出了一种类似的算法，以更简单的分析解决双FT-BFS问题。此外，我们的算法也适用于顶点故障和有向图，并且可以轻松扩展以处理双FT-MBFS问题，匹配Parter [PODC15]描述的 $O(\sigma^{1/3}n^{5/3})$ 空间下界。我们方法的关键区别在于对路径交互的更简洁分类，这构成了Parter [PODC15]分析的基础。我们的双FT-MBFS结构也无缝地给出了一个具有+2加性拉伸、大小为 $O(n^{7/8})$ 的双容错spanner。