顶点稀疏化：旧技术的新结果

给定一个带容量图$G = (V,E)$和一个终端集$K \subseteq V$，我们应如何生成一个仅包含终端$K$的图$H$，使得$G$中终端之间的所有（多商品）流都能在$H$中以低拥塞度得到支持，反之亦然？（这样的图$H$称为$G$的流稀疏化器。）如果我们希望$H$是一个“简单”图呢？如果我们允许$H$是简单图的凸组合呢？改进了Moitra [FOCS 2009]以及Leighton和Moitra [STOC 2010]的结果，我们给出了高效算法来构造：(a) 一个流稀疏化器$H$，其拥塞度保持在$O(\log k/\log \log k)$因子内，其中$k = |K|$；(b) 终端$K$上树的凸组合，其拥塞度保持在$O(\log k)$因子内；(c) 对于平面图$G$，平面图的凸组合，其拥塞度保持在常数因子内。这要求我们给出0-扩展问题的新算法，这是首个每个终端原像在$G$中连通的算法。此外，该结果可推广到子式封闭图族。我们的改进界立即意味着若干基于终端的割和排序问题的近似保证得到改进。