友好割稀疏化与更快的Gomory-Hu树

我们设计了与Nagamochi和Ibaraki的经典稀疏化[Algorithmica, 1992]相关的新割稀疏化，该算法给定具有n个节点和参数k的未加权图$G$，计算出具有$O(nk)$条边的子图，保留值不超过k的所有割。我们提出友好割稀疏化(friendly cut sparsifier)的概念，它是$G$的一个子式，保留值不超过k的所有友好割，其中$G$中的割若每个节点连接到其自身割侧的边数多于连接到另一侧的边数，则称为友好割。我们提出一种算法，给定简单图$G$，在近似线性时间内计算出具有$\tilde{O}(n \sqrt{k})$条边的友好割稀疏化。利用类似技术，我们还展示了若额外给定终端集$T$，如何在近似线性时间内计算出终端稀疏化，其保留每对终端间的最小$st$-割，具有$\tilde{O}(n \sqrt{k} + |T| k)$条边。将这些稀疏化插入近期构造简单图Gomory-Hu树的$n^{2+o(1)}$时间算法，加上处理不友好最小割的相对简单过程，我们改进了中等密度图(例如具有$m=n^{1.75}$条边)的运行时间。特别地，假设线性时间最大流算法，Gomory-Hu树的新最优结果为我们的$(m+n^{1.75})^{1+o(1)}$与已知的$m n^{1/2+o(1)}$中的较小者。我们进一步研究了该方法的极限与更好稀疏化的可能性。在可有效计算保留所有友好最小$st$-割的$\tilde{O}(n)$边稀疏化的假设下，我们的上界改进为$\tilde{O}(m+n^{1.5})$，这是在不打破非简单图构造Gomory-Hu树三次壁垒下的最佳可能。