APMF < APSP？简单图 Gomory-Hu 树的次二次时间算法

我们设计了一个 $n^{2+o(1)}$ 时间复杂度的算法，用于构造含 $n$ 个节点的简单图的割等价（Gomory-Hu）树。该界关于 $n$ 几乎是最优的，并改进了作者此前（STOC 2021）的 $\tilde{O}(n^{2.5})$ 界，那是首个打破三次壁垒的结果。因此，全对最大流（APMF）问题的时间复杂度为 $n^{2+o(1)}$，且历史上首次该问题可比全对最短路径（APSP）更快求解。我们进一步观察到，若不先获得多重图的次三次算法，则（关于边数 $m$ 的）几乎线性时间算法是不可能的。最后，我们对算法去随机化，得到简单图中首个次三次确定性 Gomory-Hu 树算法，表明打破 1961 年 $n-1$ 倍最大流界无需随机性。上界为 $\tilde{O}(n^{2\frac{2}{3}})$，若存在几乎线性的确定性单对最大流算法，则可改进至 $n^{2+o(1)}$。关键创新在于使用“动态枢纽”技术，取代了近期工作中核心的随机枢纽选择。