近似Gomory-Hu树比$n-1$次最大流更快

Gomory-Hu树（或割树，Gomory and Hu, 1961）是一种经典数据结构，用于报告无向图中所有顶点对$(s,t)$的最小割（以及对偶地，$(s,t)$最大流的值）。Gomory和Hu表明，它可以通过$n-1$次精确最大流计算得到。令人惊讶的是，50多年后，这仍然是Gomory-Hu树的最佳算法，即使对于近似最小割也是如此。在本文中，我们打破了这一长期存在的障碍，给出了一种使用$\text{polylog}(n)$次最大流计算$(1+\epsilon)$-近似Gomory-Hu树的算法。具体来说，我们获得了如下所述的运行时间界。我们针对无向加权图提出了一种随机（蒙特卡洛）算法，运行时间为$\tilde O(m + n^{3/2})$，并以高概率返回一个$(1+\epsilon)$-近似Gomory-Hu树。此前已知的最佳运行时间是$\tilde O(n^{5/2})$，这是通过在图的割稀疏化器上运行Gomory和Hu的原始算法得到的。接下来，我们针对无向无权图提出了一种随机（蒙特卡洛）算法，运行时间为$m^{4/3+o(1)}$，并以高概率返回一个$(1+\epsilon)$-近似Gomory-Hu树。这改进了我们在稀疏图（即$m = o(n^{9/8})$）上的第一个结果。此前，无权图的最佳已知运行时间是精确Gomory-Hu树的$\tilde O(mn)$（Bhalgat等人，STOC 2007）；如果允许近似，则没有更好的结果。作为我们Gomory-Hu树算法的推论，我们还在相同的时间界内解决了$(1+\epsilon)$-近似全对最小割和单源最小割问题。（这些问题更简单，因为目标仅返回$(s,t)$最小割值，而非最小割本身。）这改进了Abboud等人（FOCS 2020）最近在$\tilde O(n^2)$时间内解决这些问题的算法。