图稀疏化的一般框架

给定一个加权图 $G$ 和一个误差参数 $\epsilon > 0$，图稀疏化问题要求对 $G$ 中的边进行采样，并为采样的边赋予适当的权重，以获得一个稀疏图 $G_{\epsilon}$（期望包含 $O(n\log n)$ 条边），并满足以下性质：$G_{\epsilon}$ 中每个割的权重都在 $G$ 中对应割权重的 $(1\pm \epsilon)$ 因子范围内。我们提供了一个通用框架，该框架为任何特定采样方案能够产生良好稀疏化图设定了充分条件，并通过该框架的简单实例化获得了一系列结果。我们获得的结果包括：(1) 对于具有多项式边权重的图，我们将图稀疏化的时间复杂度从 $O(m\log^3 n)$ 改进为 $O(m + n\log^4 n)$。(2) 对于具有任意边权重的图，我们将图稀疏化的时间复杂度从 $O(m\log^3 n)$ 改进为 $O(m\log^2 n)$。(3) 如果允许稀疏化图的大小为 $O(n\log^2 n/\epsilon^2)$ 而非 $O(n\log n/\epsilon^2)$，那么对于具有多项式边权重的图，我们将稀疏化的时间复杂度改进为 $O(m)$。(4) 我们证明了使用标准连通性进行采样可以产生良好的稀疏化图，从而解决了 Benczur 和 Karger 的一个开放问题。作为推论，我们给出了 Spielman 和 Srivastava 的一个结果（稍弱版本）的简单证明，该结果表明使用有效电阻进行采样可以产生良好的稀疏化图。(5) 我们给出了一个简单证明，表明使用强连通性进行采样可以产生良好的稀疏化图，该结果此前由 Benczur 和 Karger 使用更复杂的证明得到。我们证明的一个关键要素是对 Karger 关于无向图中最小割数量界限的推广；这一推广可能具有独立的研究价值。