近线性规模的谱超图稀疏化器

图稀疏化在过去二十年中得到了广泛研究，最终得到了最优规模（至多相差常数因子）的谱稀疏化器。谱超图稀疏化是该问题的自然类比，其稀疏化器规模的最优界尚不清楚，主要是因为超图拉普拉斯算子是非线性的，因而缺乏对图极为有效的线性代数结构与工具。我们的主要贡献是首个为超图构造具有 $O^*(n)$ 条超边的 $\epsilon$-谱稀疏化器的算法，其中 $O^*$ 略去 $(\epsilon^{-1} \log n)^{O(1)}$ 因子。该界独立于秩 $r$（超边的最大基数），并且由于近期超图稀疏化 $\Omega(nr)$ 的比特复杂度下界，该界本质上是最优可能的。这一结果通过引入两个新工具得到。首先，我们给出了图稀疏化器谱集中界的新证明；它避免了线性代数方法，例如取代通常的矩阵 Bernstein 不等式应用，从而适用于（非线性）超图情形。为实现该结果，我们在 $\mathbb{R}^n$ 中的单位球上设计了一系列新的依赖于超图的 $\epsilon$-网。其次，我们将 Chen、Khanna 和 Nagda [FOCS'20] 的权重分配技术推广到谱稀疏化情形。令人惊讶的是，权重分配后生成树的数量可作为势函数，在谱情形下引导重加权过程。