通过简单迭代采样算法对有向超图进行近乎紧谱稀疏化

谱超图稀疏化试图将著名的谱图稀疏化扩展到超图，在过去几年中得到了广泛研究。对于无向超图，Kapralov、Krauthgamer、Tardos 和 Yoshida（2022）已证明存在大小为最优 $O^*(n)$ 的 $\varepsilon$-谱稀疏器，其中 $n$ 为顶点数，$O^*$ 省略了 $\varepsilon^{-1}$ 和 $\log n$ 因子。然而，对于有向超图，其最优稀疏器大小尚属未知。我们的主要贡献是首个为有向加权超图构造大小为 $O^*(n^2)$ 的 $\varepsilon$-谱稀疏器的算法。由于即便对有向图也存在 $\Omega(n^2)$ 的下界，我们的结果在 $\varepsilon^{-1}$ 和 $\log n$ 因子范围内是最优的。我们还给出了一般有向超图的首个非平凡下界 $\Omega(n^2/\varepsilon)$。我们算法的基本思想借鉴了 Koutis 和 Xu（2016）针对普通图的基于生成子的稀疏化方法。他们的迭代采样方法在设计各种情形下的稀疏化算法时确实有用。为说明这一点，我们还提出了一种针对无向超图的类似迭代采样算法，该算法达到了最佳大小界之一，支持并行实现，并且可转化为具有容错能力的形式。