谱图稀疏化的草图算法

我们研究压缩 $n$ 个顶点上的加权图 $G$ 的问题，构建 $G$ 的“草图”$H$，使得对于任意向量 $x \in \mathbb{R}^n$，仅凭 $H$ 和 $x$ 即可将值 $x^T L_G x$ 近似到 $1+\epsilon$ 的乘法因子内，其中 $L_G$ 表示 $G$ 的拉普拉斯矩阵。解决此问题的一种方法是构建 $G$ 的谱稀疏化器 $H$，利用 Batson、Spielman 和 Srivastava 的结果，该稀疏化器由 $O(n \epsilon^{-2})$ 条 $G$ 的重加权边组成，并具有如下性质：对于所有 $x \in \mathbb{R}^n$，同时满足 $x^T L_H x = (1 \pm \epsilon) x^T L_G x$。$O(n \epsilon^{-2})$ 的界对于谱稀疏化器是最优的。我们表明，如果仅关注以高概率保留固定 $x \in \mathbb{R}^n$（在查询时指定）的 $x^T L_G x$ 值，则存在一个仅使用 $\tilde{O}(n \epsilon^{-1.6})$ 比特空间的草图 $H$。这是首个实现关于 $\epsilon$ 的次二次依赖性的数据结构。我们的工作建立在 Andoni、Krauthgamer 和 Woodruff 近期研究的基础上，他们证明了以高概率保留固定割查询（即 $x\in \{0,1\}^n$）需要 $\tilde{O}(n \epsilon^{-1})$ 比特空间；此处我们表明，即使对于一般查询向量 $x \in \mathbb{R}^n$，关于 $\epsilon$ 的次二次依赖性也是可能的。我们关于拉普拉斯矩阵的结果与具有 $O(\log n)$ 比特项的一般 $n \times n$ 正定矩阵 $A$ 的草图形成鲜明对比，对于后者，即使要以常数概率将固定 $x \in \mathbb{R}^n$（在查询时指定）的 $x^T A x$ 值保留到 $1+\epsilon$ 因子内，我们也证明了 $\Omega(n \epsilon^{-2})$ 的下界。