超图的光谱稀疏化

对于无向/有向超图 $G=(V,E)$，其拉普拉斯算子 $L_G\colon\mathbb{R}^V\to \mathbb{R}^V$ 的定义使其“二次型” $\boldsymbol{x}^\top L_G(\boldsymbol{x})$ 捕获 $G$ 的割信息。特别地，$\boldsymbol{1}_S^\top L_G(\boldsymbol{1}_S)$ 与 $S \subseteq V$ 的割大小一致，其中 $\boldsymbol{1}_S \in \mathbb{R}^V$ 是 $S$ 的特征向量。顶点集 $V$ 上的超图 $G$ 的加权子图 $H$ 若对每個 $\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^V$ 满足 $(1-\epsilon)\boldsymbol{x}^\top L_H(\boldsymbol{x}) \leq \boldsymbol{x}^\top L_G(\boldsymbol{x}) \leq (1+\epsilon)\boldsymbol{x}^\top L_H(\boldsymbol{x})$，则称其为 $G$ 的 $\epsilon$-光谱稀疏化子。本文提出一种多项式时间算法，给定 $n$ 个顶点的无向/有向超图 $G$，可构造具有 $O(n^3\log n/\epsilon^2)$ 条超边/超弧的 $\epsilon$-光谱稀疏化子。所提出的光谱稀疏化可用于改善涉及二次型的算法的时间和空间复杂度，例如计算 $L_G$ 的特征值、计算 $G$ 中一对顶点间的有效电阻、基于 $L_G$ 的半监督学习，以及 $G$ 上的割问题。此外，我们的稀疏化结果表明，任意满足 $f(\emptyset)=f(V)=0$ 的次模函数 $f\colon 2^V \to \mathbb{R}_+$ 均可由有向超图简洁表示。相应地，我们证明对于任意分布，我们都能以 $O(n^4\log (n/\epsilon) /\epsilon^4)$ 个样本正确且不可知地学习满足 $f(\emptyset)=f(V)=0$ 的次模函数 $f\colon 2^V \to [0,1]$。