拟二部图的最优顶点割稀疏化

在顶点割稀疏化中，给定图 $G=(V,E)$ 及其终端集合 $T\subseteq V$，我们希望构造图 $G'=(V',E')$ 且 $T\subseteq V'$，使得对任意两个终端集合 $A,B\subseteq T$，$G'$ 中最小 $(A,B)$-顶点割的大小与 $G$ 中相同。在最基本的设定中，$G$ 是无权无向图，且我们希望将 $G'$ 的大小限制为 $k=|T|$ 的函数。Kratsch 和 Wahlstr\"om [JACM 2020] 证明了每个图 $G$（可为有向）都存在一个含 $O(k^3)$ 个顶点的顶点割稀疏化子 $G'$，且实际上可在随机多项式时间内构造。我们研究（可能为有向的）拟二部图 $G$，即每条边至少有一个端点在 $T$ 中，并证明它们存在具有 $O(k^2)$ 条边和顶点的顶点割稀疏化子，且实际上可在确定性多项式时间内构造。事实上，该界可自然推广到所有具有进入有界大小集合的小分离器的图。最后，我们从信息论上证明了近乎匹配的下界，即稀疏化拟二部无向图需要 $\tilde{\Omega}(k^2)$ 条边。