有向无环图中近线性时间、最优的顶点割稀疏化器

设 $G$ 为一个图，$S, T \subseteq V(G)$ 为（可能重叠的）终端集合，且 $|S|=|T|=k$。我们关注于计算 $G$ 中终端割的顶点稀疏化器，即一个顶点数尽可能少的图 $H$，满足 $S \cup T \subseteq V(H)$，且对任意 $A \subseteq S$ 和 $B \subseteq T$，最小 $(A,B)$-顶点割的大小在 $G$ 中与在 $H$ 中相同。我们假设图是无权图且终端可能属于最小割。在先前工作中，Kratsch 与 Wahlstr\"om（FOCS 2012/JACM 2020）利用与拟阵理论的联系证明了即使对任意有向图 $G$，也可在随机多项式时间内计算出具有 $O(k^3)$ 个顶点的顶点稀疏化器 $H$。然而此后，关于大小 $O(k^3)$ 的改进一直未被提出。本文中，我们从极值组合学中著名的 Bollob\'as 双族定理汲取灵感，并将全序引入 Kratsch 与 Wahlstr\"om 的方法。这一新视角使我们能为 $G$ 是有向无环图（DAG）的情形构造出具有 $\Theta(k^2)$ 个顶点的稀疏化器 $H$。我们还展示了如何在近线性于 $G$ 大小的时间内计算 $H$，改进了先前的 $O(n^{\omega+1})$。此外，$H$ 能恢复 $G$ 中每个划分 $(A,B)$ 对应的最近最小割，这是先前未知的。最后，我们证明了无论对 DAG 还是无向边割，都需要大小为 $\Omega(k^2)$ 的稀疏化器。