关于带 Steiner 顶点的顶点稀疏化器

给定一个无向图 G=(V,E)，边容量 c_e ≥ 1，以及一个包含 k 个顶点的子集 T（称为终端），称图 H 是 G 的一个质量 q 的割稀疏化器，如果 T ⊆ V(H)，并且对于 T 的任意划分 (A,B)，图 G 和 H 中分离 A 和 B 的最小割值相差不超过因子 q。称 H 是 G 的一个质量 q 的流稀疏化器，如果 T ⊆ V(H)，并且对于任意一组终端上的需求 D，在图 G 和 H 中分数路由需求 D 所引起的最小边拥塞值相差不超过因子 q。到目前为止，顶点稀疏化器在一个受限设置中被研究，其中稀疏化器 H 不允许包含任何非终端顶点，即 V(H)=T。对于这种设置，已知有高效算法可以构造质量 O(log k / log log k) 的割和流顶点稀疏化器，以及任何流或割稀疏化器质量的下界为 Ω̃(√log k)。我们研究更一般设置下的流和割稀疏化器，其中允许 Steiner 顶点，即不再要求 V(H)=T。我们给出了算法，可以构造常数质量的割稀疏化器，大小为 O(C^3)，时间 poly(n)·2^C；以及常数质量的流稀疏化器，大小为 C^{O(log log C)}，时间 n^{O(log C)}·2^C，其中 C 是终端上所有关联边的总容量。