迈向 (1+\epsilon)-近似流稀疏化器

“压缩”大型网络 $G$ 的一种有用方法是将其表示为{\em 流稀疏化器}（flow-sparsifier），即一个小型网络 $H$，它在高达 $q \geq 1$ 的因子（称为稀疏化器的质量）内支持与 $G$ 相同的流。具体而言，我们假设网络 $G$ 包含一组 $k$ 个终端 $T$，该集合也与网络 $H$ 共享，即 $T\subseteq V(G)\cap V(H)$，并且我们希望 $H$ 能够保留所有可在终端 $T$ 之间路由的多商品流。挑战在于构造一个小型的 $H$。近年来，这些问题受到了广泛关注，从而得出了一些关于稀疏化器质量 $q$ 与其大小 $|V(H)|$ 之间的已知权衡。然而，是否每个 $G$ 都存在一个质量 $q=1+\epsilon$ 甚至 $q=O(1)$ 且大小 $|V(H)|\leq f(k,\epsilon)$（特别是独立于 $|V(G)|$ 和边容量）的流稀疏化器 $H$，仍然是一个悬而未决的问题。作为朝此方向迈出的第一步，我们针对几种场景提出了新的构造：* 我们的主要结果是，对于准二分网络 $G$，可以构造一个大小为 $\poly(k/\eps)$ 的 $(1+\epsilon)$-流稀疏化器。相比之下，已知该类网络的精确（$q=1$）稀疏化器需要 $2^{\Omega(k)}$ 的大小。* 对于树宽 $w$ 有界的网络 $G$，我们构造了一个质量 $q=O(\log w / \log\log w)$ 且大小为 $O(w\cdot \poly(k))$ 的流稀疏化器。* 对于一般网络 $G$，我们构造了一个{\em 草图} $sk(G)$，它以 $q=1+\eps$ 的因子存储所有可行的多商品流，其大小（存储需求）为 $f(k,\epsilon)$。