模拟网络与终端割的简洁表示

给定一个具有 $k$ 个终端顶点的大型边加权网络 $G$，我们希望对其进行压缩并用极少的内存存储每对终端二分划之间的最小割值（或等价地，最大流）。实现 $G$ 压缩的一种诱人方法是构建一个\emph{模拟网络}（mimicking network）：一个具有相同 $k$ 个终端的小型网络 $G'$，其中每对终端二分划之间的最小割值与 $G$ 中相同。这一概念由 Hagerup、Katajainen、Nishimura 和 Ragde [JCSS '98] 提出，他们证明了大小至多为 $2^{2^k}$ 的此类 $G'$ 总是存在。显然，通过访问较小的网络 $G'$，涉及割的某些计算可以更高效地执行。我们提供了几个新的界，共同将先前已知的差距从双指数级缩小到单指数级，适用于平面图和一般图。我们的第一个也是主要结果是：每个 $k$ 终端平面图都存在一个大小为 $O(k^2 2^{2k})$ 的模拟网络 $G'$，且该网络还是 $G$ 的一个minor。另一方面，某些平面图 $G$ 要求 $|E(G')| \ge \Omega(k^2)$。对于一般网络，我们表明某些二分图仅允许大小为 $|V(G')| \geq 2^{\Omega(k)}$ 的模拟网络，此外，任何存储所有终端二分划之间最小割值的数据结构都必须使用 $2^{\Omega(k)}$ 个机器字。