关于表示最小终端割的模拟网络

给定一个带容量的无向图 $G=(V,E)$ 及其终端集 $K \subset V$，模拟网络（mimicking network）是一个较小的图 $H=(V_H,E_H)$，它能精确保持终端之间的所有最小割。具体而言，稀疏化器 $H$ 的顶点集 $V_H$ 包含终端集 $K$，且对于终端集 $K$ 的任意二分划 $U, K-U$，在 $G$ 中分离 $U$ 与 $K-U$ 的最小割大小恰好等于在 $H$ 中分离 $U$ 与 $K-U$ 的最小割大小。模拟网络这一概念由 Hagerup、Katajainen、Nishimura 和 Ragde (1995) 提出，他们还为任意具有 $k$ 个终端的图构造了大小为 $2^{2^{k}}$ 的模拟网络。关于模拟网络大小的已知最佳下界是终端数量的线性函数。更确切地说，对于具有 $k$ 个终端的图，已知最佳下界为 $k+1$ (Chaudhuri 等人，2000)。在本工作中，我们改进了上下界，将两者之间的双指数差距缩小为单指数差距。具体而言，我们获得了关于模拟网络的以下上下界：1) 给定图 $G$，我们构造了一个顶点数至多为第 $(|K|-1)$ 个 Dedekind 数（$\approx 2^{{(k-1)} \choose {\lfloor {{(k-1)}/2} \rfloor}}$）的模拟网络（独立于 $V$ 的大小）。此外，我们证明了该构造在所有{\it受限模拟网络}（即通过聚类顶点获得的一类自然模拟网络）中是最优的。2) 存在具有 $k$ 个终端的图，其不存在大小小于 $2^{\frac{k-1}{2}}$ 的模拟网络。我们还展示了针对树和有界树宽图的改进模拟网络构造。