平面图中的流割间隙与面覆盖

图中最稀疏割与最大并发多流之间的关系已被广泛研究。对于具有$k$个终端对的一般图，流割间隙为$O(\log k)$，且这是紧的。但当对流网络施加拓扑限制时，情况远不清楚。特别地，有人猜想平面图中的流割间隙为$O(1)$，而已知界限将该间隙置于$2$（Lee与Raghavendra，2003）与$O(\sqrt{\log k})$（Rao，1999）之间。Okamura与Seymour（1981）的开创性结果表明，当平面图的所有终端位于同一个面上时，流割间隙恰为$1$。该情形可通过考虑终端位于某个固定平面绘图中$\gamma>1$个面上的平面图而推广。Lee与Sidiropoulos（2009）证明了流割间隙受$\gamma$的函数的界限制，而Chekuri、Shepherd与Weibel（2013）表明该间隙至多为$3\gamma$。我们通过证明终端上诱导的边加权最短路径度量容许失真为$O(\log\gamma)$的到树的随机嵌入（此为紧界），证明了流割间隙为$O(\log\gamma)$。前述结果针对边容量网络的情形。对于顶点容量网络，控制流割间隙可能更具挑战性。尽管不存在Okamura-Seymour定理的精确顶点容量版本，但存在近似版本；Lee、Mendel与Moharrami（2015）表明，在终端位于单个面上的平面网络上，顶点容量流割间隙为$O(1)$。我们证明了当终端位于至多$\gamma$个面上时，顶点容量实例的流割间隙为$O(\gamma)$。事实上，该结果在子模顶点容量的更一般设定下也成立。