从面覆盖视角看平面图到 $\ell_1$ 的嵌入

Gupta 等人 [Combinatorica04] 猜想每个平面图均可以常数畸变嵌入到 $\ell_1$ 中。然而，给定一个 $n$ 顶点带权平面图，畸变的最佳上界仅由 Rao [SoCG99] 给出的 $O(\sqrt{\log n})$。本文研究存在终端集合 $K$、目标仅以低畸变将终端嵌入 $\ell_1$ 的情形。Okamura 和 Seymour 在开创性论文 [J.Comb.Theory81] 中表明，若所有终端位于同一个面上，则它们可等距嵌入 $\ell_1$。更一般的情形，即终端集可被 $\gamma$ 个面覆盖，由 Lee 和 Sidiropoulos [STOC09] 以及 Chekuri 等人 [J.Comb.Theory13] 研究。目前最优结果是 Krauthgamer、Lee 和 Rika [SODA19] 给出的 $O(\log \gamma)$ 上界。我们的贡献是将上界进一步改进到 $O(\sqrt{\log\gamma})$。由于每个平面图至多具有 $O(n)$ 个面，对此结果的任何进一步改进都将是重大突破，直接改进 Rao 长期存在的上界。此外，众所周知流-割间隙等于到 $\ell_1$ 最佳嵌入的畸变。因此，我们的结果为平面图上稀疏割问题在全部需求对可被 $\gamma$ 个面覆盖的情形下提供了多项式时间 $O(\sqrt{\log \gamma})$-近似。