平面 3-图的最优正交绘图算法及其线性时间实现

平面图 $G$ 的平面正交绘图 $\Gamma$ 是 $G$ 的一种几何表示，其中顶点被画为平面上互不相同的点，边被画为由水平与垂直线段组成的链，且除公共端点外任意两边不相交。$\Gamma$ 的弯点是指边上水平与垂直线段相接的点。若 $\Gamma$ 在 $G$ 的所有可能平面正交绘图中弯点数目最少，则称其为弯点最小绘图。本文探讨一个长期存在且被广泛研究的开放问题：给定平面 3-图 $G$（即最大顶点度为三的平面图），在可变嵌入设定下，计算其弯点最小平面正交绘图的最佳计算上界是什么？在此设定中，算法可从 $G$ 的指数级数量的平面嵌入中选取使正交绘图弯点数目最少的那个。我们给出一种 $O(n)$ 时间算法作为回答，该算法计算 $G$ 的弯点最小平面正交绘图，且每条边至多一个弯点，其中 $n$ 为 $G$ 的顶点数。此前，能同时最小化总弯点数与每边弯点数的正交绘图算法是否存在尚属未知。