基于最短路径分解的度量嵌入

我们研究将加权图的最短路径度量嵌入到 $\ell_p$ 空间的问题。我们引入一种基于通过最短路径对图进行低深度分解的新嵌入技术。最短路径分解深度的概念通过归纳定义：（加权）路径图的最短路径分解 (SPD) 深度为 $1$。一般图若包含一条最短路径，删除该路径后所得图的每个连通分量的 SPD 深度至多为 $k-1$，则该图具有深度为 $k$ 的 SPD。本文中，我们对 SPD 深度至多为 $k$ 的图给出一个 $O(k^{\min\{\frac{1}{p},\frac{1}{2}\}})$ 失真的嵌入。对于任意固定的 $p>1$，该结果是渐近紧确的；对于 $p=1$，该结果在二阶项意义下紧确。作为该结果的一个推论，我们证明路径宽度为 $k$ 的图嵌入到 $\ell_p$ 的失真为 $O(k^{\min\{\frac{1}{p},\frac{1}{2}\}})$。对于 $p=1$，这改进了 Lee 和 Sidiropoulos 先前关于 $k$ 呈指数级的最佳上界；此外，对于其他 $p$ 值，它首次给出了失真与图规模 $n$ 无关的嵌入。进一步地，我们利用平面图具有 $O(\log n)$ 的 SPD 深度这一事实，给出了任意平面图以 $O(\sqrt{\log n})$ 失真嵌入到 $\ell_1$ 的新证明。我们的方法还对具有有界树宽的图以及排除某个固定子式的图给出了新结果。