关于无子式图稀疏覆盖、低维度量嵌入及其他应用

给定一个度量空间 $(X,d_X)$，一个 $(\beta,s,\Delta)$-稀疏覆盖是一个直径至多为 $\Delta$ 的簇集合 $\mathcal{C}\subseteq P(X)$，使得对于每个点 $x\in X$，球 $B_X(x,\frac\Delta\beta)$ 完全包含在某个簇 $C\in \mathcal{C}$ 中，并且 $x$ 最多属于 $\mathcal{C}$ 中的 $s$ 个簇。我们的主要贡献是证明了每个 $K_r$-无子式图的最短路径度量都承认 $(O(r),O(r^2),\Delta)$-稀疏覆盖，并且对于每个 $\epsilon>0$，承认 $(4+\epsilon,O(\frac1\epsilon)^r,\Delta)$-稀疏覆盖（对于任意 $\Delta>0$）。然后，我们利用这个稀疏覆盖来证明每个 $K_r$-无子式图都能以失真 $3+\epsilon$ 嵌入到 $\ell_\infty^{\tilde{O}(\frac1\epsilon)^{r+1}\cdot\log n}$ 中（或以失真 $O(r)$ 嵌入到 $\ell_\infty^{\tilde{O}(r^2)\cdot\log n}$ 中）。此外，在其他应用中，这个稀疏覆盖直接为固定无子式图中的 oblivious buy-at-bulk 问题提供了一个紧近似因子为 $O(\log n)$ 的算法（此前除了通用图之外，没有其他已知结果）。