稀疏遗忘子空间嵌入的下界

遗忘子空间嵌入（OSE）由参数 $m,n,d,\epsilon,\delta$ 刻画，是一个随机矩阵 $\Pi\in \mathbb{R}^{m\times n}$，使得对于任意 $d$ 维子空间 $T\subseteq \mathbb{R}^n$，有 $\Pr_\Pi[\forall x\in T, (1-\epsilon)\|x\|_2 \leq \|\Pi x\|_2\leq (1+\epsilon)\|x\|_2] \geq 1-\delta$。对于至多为一个小常数的 $\epsilon$ 和 $\delta$，我们证明任何每列只有一个非零元素的 OSE 必须满足 $m = \Omega(d^2/(\epsilon^2\delta))$，从而确立了经典 Count-Sketch 矩阵的最优性。当 OSE 每列有 $1/(9\epsilon)$ 个非零元素时，我们证明其必须满足 $m = \Omega(\epsilon^{O(\delta)} d^2)$，改进了 Nelson 和 Nguyen（ICALP 2014）先前给出的 $\Omega(\epsilon^2 d^2)$ 下界。