遗忘子空间嵌入的稀疏度-维数权衡

遗忘子空间嵌入（OSE）由参数 $m,n,d,\epsilon,\delta$ 刻画，是一个随机矩阵 $\Pi\in \mathbb{R}^{m\times n}$，使得对于任意 $d$ 维子空间 $T\subseteq \mathbb{R}^n$，有 $\Pr_\Pi[\forall x\in T, (1-\epsilon)\|x\|_2 \leq \|\Pi x\|_2\leq (1+\epsilon)\|x\|_2] \geq 1-\delta$。当 OSE 每一列有 $s\le 1/2.001\epsilon$ 个非零元素时，我们证明必有 $m = \Omega\left(d^2/( \epsilon^2s^{1+O(\delta)})\right)$，这是首个带有 $d^2$ 与 $1/\epsilon$ 乘性因子的下界，改进了 Li 和 Liu（PODS 2022）先前的 $\Omega\left(d^2/s^{O(\delta)}\right)$ 下界。当 OSE 每一列有 $s=\Omega(\log(1/\epsilon)/\epsilon)$ 个非零元素时，我们证明必有 $m = \Omega\left((d/\epsilon)^{1+1/4.001\epsilon s}/s^{O(\delta)}\right)$，这是首个带有 $d$ 与 $1/\epsilon$ 乘性因子的下界，改进了 Nelson 和 Nguyen（ICALP 2014）先前的 $\Omega\left(d^{1+1/(16\epsilon s+4)}\right)$ 下界。这第二个结果是 $d,\epsilon,s,\delta$ 与 $m$ 之间更一般权衡的一个特例。