警察、强盗与威胁骨架：无 minor 图的填充分解

我们证明了任何排除 $K_r$ 作为 minor 的图都可以被划分为直径至多为 $\Delta$ 的簇，同时移除至多 $O(r/\Delta)$ 比例的边。这改进了 Fakcharoenphol 和 Talwar 的结果，他们基于 Klein、Plotkin 和 Rao 的工作给出的划分需要移除 $O(r^2/\Delta)$ 比例的边。我们的结果是通过一种新途径获得的，该途径将图的拓扑性质（排除 minor）与其几何性质（诱导最短路径度量）联系起来。具体而言，我们展示了 Andreae 在研究排除 minor 图上的警察与强盗游戏时所使用的技术，可用于构造此类图诱导度量的填充分解。特别是，对于 $K_r$-free 图，我们得到了填充参数为 $O(r)$ 的概率划分和填充参数为 $O(r^2)$ 的强直径划分；对于树宽为 $k$ 的图，填充参数为 $O(k)$；对于亏格为 $g$ 的图，填充参数为 $O(\log g)$。