通过动态近似距离预言机加速浅层 minor-free 图的分离集算法

Plotkin、Rao 和 Smith (SODA'97) 证明了任何具有 $m$ 条边和 $n$ 个顶点且排除深度为 $O(\ell\log n)$ 的 $K_h$-minor 的图，都存在大小为 $O(n/\ell + \ell h^2\log n)$ 的分离集，且可在 $O(mn/\ell)$ 时间内找到此类分离集。随后给出了 $O(m + n^{2+\epsilon}/\ell)$ 的时间界限（W., FOCS'11），这对于非稀疏图是一个改进。我们提出了三种新算法。第一种算法具有相同的分离集大小，运行时间为 $O(\mbox{poly}(h)\ell m^{1+\epsilon})$。这对于较小的 $h$ 和 $\ell$ 是一个显著改进。如果 $\ell = \Omega(n^{\epsilon'})$（其中 $\epsilon' > 0$ 为任意小的选定常数），则时间界限为 $O(\mbox{poly}(h)\ell n^{1+\epsilon})$。第二种算法实现了相同的分离集大小（对 $h$ 的多项式依赖略大），当 $\ell = \Omega(n^{\epsilon'})$ 时，运行时间为 $O(\mbox{poly}(h)(\sqrt\ell n^{1+\epsilon} + n^{2+\epsilon}/\ell^{3/2}))$。我们的第三种算法在 $\ell = \Omega(n^{\epsilon'})$ 时的运行时间为 $O(\mbox{poly}(h)\sqrt\ell n^{1+\epsilon})$。它找到的分离集大小为 $O(n/\ell) + \tilde O(\mbox{poly}(h)\ell\sqrt n)$，当 $h$ 固定且 $\ell = \tilde O(n^{1/4})$ 时，该结果不劣于之前的界限。获得我们结果的一个主要工具是对 Roditty 和 Zwick 的递减近似距离预言机 (decremental approximate distance oracle) 的新颖应用。