超稀疏超稀疏化子与更快速的拉普拉斯系统求解器

本文给出一种期望时间 $O(m (\log \log n)^{O(1)} \log(1/\epsilon))$ 的算法，用于求解 $n$ 节点 $m$ 边图上的拉普拉斯系统，改进了此前由 (Cohen, Kyng, Miller, Pachocki, Peng, Rao, Xu 2014) 取得的最优期望运行时间 $O(m \sqrt{\log n} (\log \log n)^{O(1)} \log(1/\epsilon))$。为获得该结果，我们给出了具有改进拉伸与稀疏度界的 $\ell_p$-拉伸图近似的高效构造。此外，作为本工作的动机，我们证明对 $\mathbb{R}^d$ 中的任意向量集（不仅限于图所诱导者）及所有 $k > 1$，存在具有 $d-1 + O(d/\sqrt{k})$ 个重加权向量、相对条件数至多为 $k$ 的超稀疏化子。对小的 $k$，这改进了此前已知的最优相对条件数 $\tilde{O}(\sqrt{k \log d})$，而该界仅知于图的情形。