通过稀疏 LU 分解在近似线性时间内求解有向拉普拉斯系统

我们展示如何在近似线性时间内求解有向拉普拉斯系统。给定一个具有 $m$ 个非零元的 $n \times n$ 欧拉有向拉普拉斯线性方程组,我们展示如何在时间 $O(m \log^{O(1)} (n) \log (1/\epsilon))$ 内计算出 $\epsilon$-近似解。通过 [Cohen et al. FOCS'16] 的归约,这给出了首个用于计算行或列对角占优线性方程组(包括任意有向拉普拉斯)的 $\epsilon$-近似解,以及计算有向图上随机游走各种性质的 $\epsilon$-近似(包括平稳分布、个性化 PageRank 向量、命中时间与逃逸概率)的近似线性时间算法。这些界改进了 [Cohen et al. STOC'17] 最近的几乎线性算法,后者给出了在时间 $O((m+n2^{O(\sqrt{\log n \log \log n})})\log^{O(1)}(n \epsilon^{-1}))$ 内求解欧拉拉普拉斯系统的算法。为达成我们的结果,我们提供了一个我们认为具有独立兴趣的结构性结果。我们展示所有强连通有向图的拉普拉斯都具有稀疏近似 LU 分解。即,对每一个此类有向拉普拉斯 ${\mathbf{L}}$,存在一个下三角矩阵 $\boldsymbol{\mathit{{\mathfrak{L}}}}$ 和一个上三角矩阵 $\boldsymbol{\mathit{{\mathfrak{U}}}}$,每个至多具有 $\tilde{O}(n)$ 个非零元,使得它们的乘积 $\boldsymbol{\mathit{{\mathfrak{L}}}} \boldsymbol{\mathit{{\mathfrak{U}}}}$ 在适当范数下谱逼近 ${\mathbf{L}}$。该断言可视为近期关于无向图拉普拉斯稀疏 Cholesky 分解工作的类比。我们展示如何在近似线性时间内构造此类分解,并证明一旦构造完成,它们就给出求解有向拉普拉斯系统的近似线性时间算法。