近线性时间下的 Perron-Frobenius 理论：正特征向量、M-矩阵、图核及其他应用
数据结构与算法
2018-10-05 v1 最优化与控制
摘要
在本文中，我们针对与经典 Perron-Frobenius 定理密切相关的若干问题提供了近线性时间算法，包括计算 Perron 向量（即非负矩阵的分量非负特征向量），以及求解非对称 M-矩阵（Laplacian 系统的一种推广）中的线性方程组。我们算法的运行时间对输入规模近线性依赖，对所需精度和问题的条件数多对数依赖。利用这些结果，我们还为更广泛的问题提供了改进的运行时间，包括计算基于随机游走的图核、计算 Katz 中心性等。我们算法的运行时间改进了先前已知的结果，那些结果要么对问题条件数多项式依赖，要么需要二次时间，要么仅适用于特殊情况。我们通过提供新的迭代方法将这些问题归约为求解行-列对角占优（RCDD）矩阵中的线性方程组而获得这些结果。我们的方法与经典的特征向量计算移位-反演预处理技术相关，并构成了 Cohen 等人（2016）中将平稳分布计算和求解有向 Laplacian 系统归约为求解 RCDD 系统结果的首个替代方案。
引用
@article{arxiv.1810.02348,
title = {Perron-Frobenius Theory in Nearly Linear Time: Positive Eigenvectors, M-matrices, Graph Kernels, and Other Applications},
author = {AmirMahdi Ahmadinejad and Arun Jambulapati and Amin Saberi and Aaron Sidford},
journal= {arXiv preprint arXiv:1810.02348},
year = {2018}
}