对称、对角占优线性系统的准线性时间预处理与求解算法

我们提出一种随机化算法，输入为一个$n \times n$的对称、弱对角占优矩阵 $A$（含$m$个非零元素）和一个$n$维向量 $b$，在期望时间 $O(m \log^{c}n \log(1/\epsilon))$ 内输出一个向量 $y$，使得 $\norm{y - \pinv{A} b}_{A} \leq \epsilon \norm{\pinv{A} b}_{A}$。通过将该算法嵌入逆幂方法，我们在类似的时间内计算近似 Fiedler 向量。该算法以递归方式应用子图预处理器，这些预处理器改进了 Vaidya (1990) 引入的子图预处理器。对于任意对称、弱对角占优矩阵 $A$（若干元素为非正），我们在时间 $O(m \log^{c} n)$ 内构建预处理器 $B$，其非零对角元素数至多为 $2(n-1) + O((m/k)\log^{39} n)$，且有限广义条件数 $\kappa_{f}(A,B)$ 最多为 $k$。在矩阵非零结构为平面时，对应的线性系统求解器在期望时间 $O(n\log^{2}n + n\log n \log\log n \log(1/\epsilon))$ 内运行。我们希望本文中低渐近复杂度算法的引入，能促进实际中也高速的算法的发展。