对角占优系统的次线性时间算法及其在Friedkin-Johnsen模型中的应用

我们研究求解线性系统 $Sz = b$ 的次线性时间算法，其中 $S$ 是一个对角占优矩阵，即对于所有 $i \in [n]$ 和某个 $\delta \geq 0$，满足 $|S_{ii}| \geq \delta + \sum_{j \ne i} |S_{ij}|$。我们提出了随机算法，对于任意 $u \in [n]$，返回 $z^*_u$ 的一个估计值 $z_u$，其误差为 $\varepsilon$ 或 $\varepsilon \lVert z^*\rVert_\infty$，其中 $z^*$ 是 $Sz^* = b$ 的某个解，并且该算法只需要读取输入 $S$ 和 $b$ 的一小部分。例如，当误差为 $\varepsilon$ 并假设 $\delta>0$ 时，我们给出了一个运行时间为 $O\left( \frac{\|b\|_\infty^2 S_{\max}}{\delta^3 \varepsilon^2} \log \frac{\| b \|_\infty}{\delta \varepsilon} \right)$ 的算法，其中 $S_{\max} = \max_{i \in [n]} |S_{ii}|$。我们还证明了一个匹配的下界，表明对 $S_{\max}$ 的线性依赖是最优的。与以往仅适用于具有非负对角元素的对称对角占优矩阵的次线性时间算法不同，我们的算法适用于一般的严格对角占优矩阵（$\delta > 0$）和更广泛的非严格对角占优矩阵（$\delta = 0$）。我们的方法基于分析解所满足的一个简单概率递推关系。作为一个应用，我们在Friedkin-Johnsen模型中获得了改进的次线性时间观点估计算法。