近线性时间内有向随机游走的去随机化

本文中，我们提出首个确定性的有向拉普拉斯L系统求解器，其运行时间关于L的非零元个数近线性。先前的归约意味着首个确定性的近线性时间算法，可用于计算有向图上的多种基本量，包括平稳分布、个性化PageRank、命中时间与逃逸概率。我们通过引入部分对称化——一种使欧拉有向图的拉普拉斯在有用意义上“较少有向”的新技术——获得这些结果，该技术可能引起独立兴趣。该技术的有用性来自两个关键观察：首先，部分对称化后的拉普拉斯在Richardson迭代中能很好地预条件化原始欧拉拉普拉斯，使我们能从后者的求解器构造出原矩阵的求解器；其次，部分对称化拉普拉斯中的无向结构使得可以非常粗略地（即具有较大谱误差）对矩阵进行稀疏化，且仍在使用稀疏化矩阵作为预条件时证明Richardson迭代收敛。这使我们能为部分对称化拉普拉斯开发确定性的稀疏化工具。结合先前从有向拉普拉斯到欧拉拉普拉斯的归约，我们的技术导致了首个求解有向拉普拉斯中线性方程的确定性近线性时间算法。为强调我们新技术的通用性，我们展示两种著名的现有（随机化）欧拉拉普拉斯线性方程求解框架可如此去随机化：Cohen、Kelner、Peebles、Peng、Rao、Sidford与Vladu（STOC 2017）的基于平方的框架，以及Peng与Song（STOC 2022）的基于稀疏化Cholesky的框架。