一种分布式拉普拉斯求解器及其在电流与随机生成树计算中的应用

我们利用排队网络提出了一种求解拉普拉斯系统的新方法。这与现有主要基于图论构造和采样的技术有显著区别。我们的分布式求解器适用于一类重要且广泛的拉普拉斯系统，我们称之为“单汇点”拉普拉斯系统。具体而言，我们的求解器可对形如 $Lx = b$ 的方程组产生解，其中 $b$ 恰有一个坐标为负。我们的求解器是一种分布式算法，在 $\widetilde{O}(t_{hit} d_{\max})$ 时间内（其中 $\widetilde{O}$ 隐藏了 $\text{poly}\log n$ 因子）产生近似解，这里 $t_{hit}$ 是图上随机游走的最坏情况命中时间（对一大类重要图其为 $\Theta(n)$），$d_{\max}$ 是图的广义最大度。单汇点拉普拉斯类包含了重要的电压计算问题，并允许我们在分布式环境下计算节点间的有效电阻。因此，我们的拉普拉斯求解器可用于适配 Kelner 与 M\k{a}dry（2009）的方法，给出首个高效计算近似随机生成树的分布式算法。