分布式 SDDM 求解器：理论与应用

在本文中，我们基于 Spielman 和 Peng 的并行求解器，提出了针对对称对角占优 M 矩阵给出的线性方程组的分布式求解器。我们提出了两个版本的求解器，其中第一个需要网络中的全通信，而第二个通信限制于节点之间对于某个 $R \geq 1$ 的 R 跳邻域。我们严格分析了求解器的收敛性和收敛速率，表明我们的方法能够优于最先进技术。在开发出此类求解器后，我们进一步提出了一种用于网络流优化的精确分布式牛顿法。利用对偶 Hessian 的稀疏模式，我们提出了一种网络流优化的牛顿法，其比最先进技术更快且更精确。我们的方法利用分布式 SDDM 求解器以任意精度 $\epsilon >0$ 确定牛顿方向。我们分析了算法的性质，并展示了在最优解邻域内的超线性收敛。最后，在随机生成和哑铃网络上进行的一组实验中，我们证明了我们的方法能够显著优于最先进技术。