良形单纯复形上高效的 $1$-Laplacian 求解器：超越 Betti 数与坍缩序列

我们提出了高效算法，用于高精度近似求解良形单纯复形的 $1$-Laplacian 线性方程组。$1$-Laplacian（或称高维 Laplacian）将图 Laplacian 推广至高维单纯复形，并在计算拓扑与拓扑数据分析中发挥关键作用。此前，针对具有已知坍缩序列与有界 Betti 数的单纯复形（例如 $\mathbb{R}^3$ 中三球的三角剖分），已开发出近线性时间近似求解器（Cohen, Fasy, Miller, Nayyeri, Peng 和 Walkington [SODA'2014]、Black, Maxwell, Nayyeri 和 Winkelman [SODA'2022]、Black 和 Nayyeri [ICALP'2022]）。此外，Nested Dissection 为表示嵌入于 $\mathbb{R}^3$ 中良形单纯复形的更一般系统提供了二次时间精确求解器。我们将针对 $1$-Laplacian 的专用求解器推广至具有额外几何结构但无坍缩序列与有界 Betti 数的单纯复形，并改进了 Nested Dissection 的运行时间。我们关注满足以下两条件的单纯复形：（1）每个单纯形具有有界长宽比；（2）它们可划分为具有良形内部与边界的“不相交”且平衡的区域。我们的求解器灵感来自针对良形桁架刚度矩阵的不完全 Nested Dissection（Kyng, Peng, Schwieterman 和 Zhang [STOC'2018]）。