一维分数阶拉普拉斯算子的正则性理论与高阶数值方法

本文提出了一维分数阶拉普拉斯边值问题的正则性结果及相应的高阶数值方法。基于将解分解为特定边缘奇异权重 $\omega$ 乘以一个“正则”未知函数的乘积，解的正则性特征可通过相应右端项的光滑性来刻画。特别地，对于在 Bernstein 椭圆内解析的右端项，该“正则”未知函数在同一 Bernstein 椭圆内也具有解析性。此外，还给出了一个精确的 Sobolev 正则性结果，该结果利用 (Babu\v{s}ka 和 Guo, SIAM J. Numer. Anal. 2002) 中引入的特定加权 Sobolev 空间，完全刻画了分数阶拉普拉斯算子的陪域。本文的理论处理依赖于某个加权积分算子在 Gegenbauer 多项式基下的完全特征分解。所提出的基于 Gegenbauer 多项式的 Nystr\"om 数值方法用于分数阶拉普拉斯 Dirichlet 问题，其精度和效率显著优于先前考虑的其他算法。本文给出的精确误差估计表明，所提算法具有谱精度，其收敛速度仅取决于右端项的光滑性。特别地，对于解析（或无穷光滑）的右端项，收敛是指数级快的（或快于网格尺寸的任何幂次）。通过多种数值结果展示了该算法的性质。