分数阶拉普拉斯算子的数值方法：一种有限差分 - 求积方法

分数阶拉普拉斯算子 $(-\Delta)^{\alpha/2}$ 是一个依赖于参数 $\alpha$ 的非局部算子，当 $\alpha \to 2$ 时退化为通常的拉普拉斯算子。基于该算子的奇异积分表示，提出了一种分数阶拉普拉斯算子的数值方法。该方法结合了有限差分与数值求积，以获得具有正权重的离散卷积算子。该方法的精度被证明为 $O(h^{3-\alpha})$。证明了该方法的收敛性。利用积分的渐近近似处理远场边界条件，从而获得高精度的方法。对已知精确解的数值实验验证了预测的收敛速率。计算实例包括具有不同正则性的指数衰减和代数衰减解。讨论了涉及该算子的非线性方程的推广：计算了分数阶拉普拉斯算子的障碍问题。