基于框架方法的分数阶拉普拉斯方程求解

对于作用于加权经典正交多项式的分数阶拉普拉斯算子，存在极为优雅的公式。我们利用这些结果，基于框架性质，构造了一种求解一维或二维无界域上任意幂次 $s \in (0,1)$ 的分数阶拉普拉斯方程的求解器。该数值方法将解表示为加权经典正交多项式及其非加权对应项在 $\mathbb{R}^d$（$d \in \{1,2\}$）上特定延拓的展开式。我们考察了该函数族用于解展开的框架性质，并在标准框架条件下推导了稳态方程的先验估计。此外，我们证明了对于分数阶热方程采用隐式欧拉时间离散时，可达到预期的收敛阶。我们将求解器应用于众多算例，包括分数阶热方程（采用高达 $6^\text{th}$ 阶 Runge–Kutta 时间离散）、具有时变指数 $s(t)$ 的分数阶热方程以及二维问题，并在空间维度上对充分光滑的数据观察到谱收敛。