一种求解谱分数阶拉普拉斯算子及相关演化问题的极小极大方法

我们提出一种基于谱定义的分数阶拉普拉斯算子 $(-\Delta)^{s}$ 逆的逼近数值方法，使用有理函数逼近矩阵 $A$ 的分数次幂 $A^{-s}$，其中 $0<s<1$。所提数值方法快速且精确，得益于矩阵 $A$ 源自拉普拉斯算子 $-\Delta$ 的有限元逼近，使其适用于具有潜在不规则形状的广泛区域。我们利用最先进的软件计算分数次幂的最佳有理逼近。我们分析了方法的收敛速度，并通过一系列针对指数范围 $s \in (0,1)$ 的数值实验验证了我们的发现。此外，我们将所提数值方法应用于通过相互作用势涉及分数阶拉普拉斯算子的不同演化问题：分数阶多孔介质方程和分数阶Keller-Segel方程。我们随后研究了所得数值方法的精度，特别关注这些偏微分方程相关解析解的定性性质的精确复现。