谱分数拉普拉斯算子自适应多网格有理逼近方案

我们提出一种新的多网格有理逼近方案，用于求解（齐次）Dirichlet 问题中的谱分数拉普拉斯算子。该方案将函数 $\lambda \mapsto \lambda^{-s}$ 的有理逼近与参数化、非分数偏微分方程 (PDE) 的一族有限元离散化相结合。支撑该方案的关键思想是：每个参数化 PDE 在经过 individually 量身定制的有限元网格上进行数值求解。这与现有的单网格方法不同，后者在所有参数化 PDE 上使用相同的有限元网格。我们发展了该有理逼近方案的 a posteriori 误差估计策略，并设计了自适应多网格细化算法。数值实验表明，所提出的自适应多网格方法在收敛速率上优于均匀网格细化，并且在总自由度数量和实际运行时间方面，均显著优于单网格设置下的相应自适应算法。